Начертательная геометрия и машиностроительное черчение

Способ концентрических сфер

Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их пулумеридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям. Если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 12.14а и рис. 12.14б показано пересечение сферы цилиндрической и конической поверхностями вращения, соответственно. На рис. 12.14в приведены пересекающиеся соосные цилиндрическая и коническая поверхности вращения.

Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер - сфер с постоянным центром. Этот способ применяют при выполнении следующих условий:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения; 

б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;

в) плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой- либо плоскости проекций (в противном случае применяют преобразование чертежа).

 Рассмотрим построение линии пере-сечения конических поверхностей вращения. На рис. 12.15 показано наглядное изображение, а на

  Рис. 12.15 рис.12.16 – комплексный чертеж этих поверхностей. Поверхности и их расположение удовлетворяет приведенным выше условиям. 

 Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точки линии пересечения. Точки А, В, K и L, а также E, F, С и D – это точки, принадлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентрических сфер или с помощью плоскостей посредников S(S2) и D(D1).

Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Q(Q2) с центром в точке О(О2) пересекает конические поверхности по окружностям, которые на П2 проецируются в отрезки  и  (проекции двух других окружностей не показаны). Точки 52=62 их пересечения являются фронтальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения поверхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей.

Горизонтальные проекции точек 5 и 6 находим из условия принадлежности точки поверхности. В данном случае используется принадлежность точек окружности  на “вертикальной” конической поверхности. Точки 52 и 62 находятся по линии проекционной связи на .

Аналогично можно построить любое количество точек искомой линии пересечения. Однако нужно иметь ввиду, что не все сферы могут быть использованы для решения задачи. Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер.

Радиус сфер посредников изменяется в диапазоне

Rmax ³ R ³ Rmin,

где Rmin – минимальный радиус сферы, Rmax – максимальный радиус сферы.

Сфера минимального радиуса Rmin - это сфера, которая касается одной поверхности и пересекает другую (или тоже касается). На рис. 12.21 такая сфера касается “горизонтальной” конической поверхности. С помощью сферы минимального радиуса построены точки 12=22 и 32=42. Горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 и 4 построены аналогично точкам 5 и 6.

Радиус максимальной сферы равен расстоянию от точки пересечения осей поверхностей до самой удаленной точки пересечения контурных образующих этих поверхностей. На рис 12.16 - Rmax =êO2L2ê.

Для установления видимости проекций линии пересечения анализируем расположение точек относительно контуров поверхностей. Так, относительно П1, видимым будет участок кривой, расположенный выше контура горизонтальной конической поверхности (вторая поверхность на видимость на П1 не влияет). Горизонтальная проекция невидимой части линии показана штриховой линией. Точки А, В и K, L принадлежат фронтальным контурам поверхностей и отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой при проецировании на П2. Фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения на рис. 12.16 совпадают.

Рекомендуемая последовательность проектировочного расчета