Начертательная геометрия и машиностроительное черчение

Пересечение поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую. Любая точка этой линии принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, проведенных на этих поверхностях. Тогда имеем следующие варианты решения данной задачи:

  1) выбирают на одной из поверхностей ко-нечное число линий и строят точки пересечения  их с другой поверхностью (см. 12.3);

 2) выделяют на заданных поверхностях два семейства линий и находят их точки пересечения. Во втором варианте выделение пересекающихся пар кривых выполняют с помощью вспомогательных поверхностей посредников.

Рассмотрим подробнее алгоритм решения задачи с использованием поверхностей посредников. Этот способ заключается в следующем.

Пусть даны пересекающиеся поверхности F и Y (рис. 12.10). Введем вспомогательную секущую поверх-ность Q1. Эта поверхность называется посредником. Она пересечет поверхности F и Y по линиям m1 и k1, соответственно. Пересечение линий m1 и k1 даст точку M, принадлежащую искомой линии пересечения t, так как она принадлежит обеим поверх-ностям. Вводя ряд посредников, получаем семейство точек линии пересечения.

В качестве поверхностей посредников наиболее часто применяют плоскости или сферы. В зависимости от вида посредников выделяют следую-щие наиболее часто применяе-мые способы построения линии пересечения двух поверхностей:

а) способ секущих плоскостей;

б) способ сфер.

Посредники выбираются так, чтобы линии mi и ki можно было легко построить, т.е. чтобы они были графически простыми (прямые или окружности).

Задача упрощается, если одна из поверхностей занимает проецирующее положение. Тогда эта поверхность вырождается в окружность (цилиндрическая) или многоугольник (призматическая). Одна из проекций искомой линии будет находиться на вырожденной проекции поверхности, а значит известна. Вторая проекция линии находится из условия принадлежности ее поверхности. На рис. 12.11 показано построение линии пересечения цилиндрической и конической поверхностей вращения. Так как ось цилиндрической поверхности перпендикулярна П1, то на П1 поверхность проецируется в окружность. На эту же окружность проецируется и искомая линия. Точки A, B, C, D, E и F – опорные точки. Точки А и F принадлежат горизонтальному, а точка Е фронтальному контурам цилиндрической поверхности. На фронтальном контуре конической поверхности расположены точки В и С. Точка D – экстремальная.

Другие точки линии пересечения, обозначенные цифрами, - промежуточные. Фронтальные проекции линии построены из условия принадлежности ее конической поверхности.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения
(рис. 12.12 и рис. 12.13).

Решение. Заданные поверхности – поверхности вращения. Оси заданных поверхностей параллельны П2, (любой диаметр сферы может быть принят за ось вращения), а их общая плоскость симметрии параллельна фронтальной плоскости проекций. Следовательно, на заданных поверхностях можно выделить два семейства окружностей, располо-женных в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций. Это значит, что для решения данной задачи можно использовать в качестве пос-редников горизонтальные

 Рис. 12.12 плоскости уровня.

Характерными точками проекций линии пересечения поверхностей являются точки A, B и С, D. Точки A, B находятся в пересечении очерковых образующих поверхностей, т.к. эти образующие расположены в общей плоскости симметрии поверхностей.

Точки С и D являются точками видимости горизонтальной проекции линии пересечения. Их построения выполнены в такой последовательности:

через центр сферы проведена горизонтальная плоскость уровня Q;

построена горизонтальная проек-ция окружности радиуса R1, по которой плоскость Q пересекает коническую поверхность; эта же плоскость пересекает сферу по экватору (окружности максимального радиуса);

построена горизонтальная проек-ция окружности радиуса R1, по которой плоскость Q пересекает коническую поверхность; эта же плоскость пересекает сферу по экватору (окружности максимального радиуса);

определены точки C1, D1 пересечения окружности радиуса R1 с очерком сферы; 

установлены фронтальные проекции точек С(С2), D(D2) из условия принадлежности их плоскости Q.

Для построения промежуточных точек 1(11,12), 2(21,22), …, 6(61,62) линии пересечения заданных поверхностей используем плоскости  и .

Полученные точки соединим плавной кривой линией.

Видимость линии пересечения определяется на каждой поверхности отдельно. Затем устанавливаются участки, видимые одновременно для обеих поверхностей. Так при проецировании коническая поверхность своих точек не закрывает, а сфера закрывает точки, расположенные ниже горизонтального контура. Точки С и D, расположенные на горизонтальном очерке, и отделяют видимую часть линии от невидимой. Невидимая часть показана штриховой линией. На П2 проекции видимой части линии пересечения совпадает с проекцией невидимой, так как фронтальные очерки обеих поверхностей расположены в плоскости симметрии поверхностей.

 

 

 

 

 

Рекомендуемая последовательность проектировочного расчета