Начертательная геометрия и машиностроительное черчение

ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ФИГУР

Пересечение поверхности и плоскости

Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью. Отсюда следует два варианта построения сечения:

1) выбираем конечное число линий на поверхности и определяем точки пересечения их с плоскостью;

2) выделяем конечное число прямых на плоскости и строим точки пересечения их с поверхностью.

 Заметим, что возможно решение, представляющее собой комбинацию этих вариантов. В любом случае построение сечения сводится к многократному применению алгоритма решения задачи на пересечение линии и поверхности.

Определение проекций линий сечения рекомендуется начинать с построения его опорных (характерных) точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (они определяют границы видимости проекций кривой), а также точки, удаленные на экстремальные расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют промежуточные точки сечения.

Построение сечения существенно упрощается, если плоскость занимает проецирующее положение. Это связано с тем, что проецирующая плоскость характеризуется собирательным свойством. В этом случае одна из проекций сечения находится на следе плоскости, т.е. известна.

Пример 1. Построить проекции сечения конической поверхности вращения с фронтально-проецирующей плоскостью S (рис. 12.1).

Решение. Заданная плоскость S пересекает исходную поверхность по эллипсу, фронтальная проекция которого расположена на следе этой плоскости. Горизонтальную проекцию сечения строим по точкам в соответствии с задачей на принадлежность линии поверхности (см. рис. 12.1).

Проекцию эллипса на плоскости P1 можно построить также по его большой A1B1 и малой C1D1 осям. Фронтальная проекция малой оси эллипса (точки C2=D2) находится на середине отрезка А2В2.

Пример 2. Построить пересечение многогран-ника плоскостью.

В пересечении гранных поверхностей плос-костями получаются многоугольники. Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью.

Многоугольник сечения может быть построен двумя способами:

Вершины многоугольника находятся как точки пересечения прямых (ребер) с секущей плоскостью;

Стороны многоугольника находятся как линии пересечения граней (плоскостей) многогранника с секущей плоскостью.

На (рис. 12.2) показано построение сечение пирамиды плоскостью S.

Секущая плоскость является фронтально - проецирующей, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости, совпадут с фронтальным следом S2 плоскости S. Следовательно, фронтальная проекция 122232 сечения определится при пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды со следом S(S)2. Горизонтальные проекции точек 1(11), 2(21) и 3(31) находим из условия принадлежности точек ребрам пирамиды.

Пример 3. Построить линию пересечения цилиндрической поверхности вращения с плоскостью S(S)2 (рис. 12.3).

Решение. Вначале находим опорные точки A(A1, A2), B(B1, B2), C(C1, C2) и D(D1, D2). Точки А и В находятся в пересечении образующих фронтального контура поверхности и плоскости S (вначале определяем A2 и B2, а затем по линиям проекционной связи - A1 и B1). Точки С и D являются точками пересечения горизонтального контура поверхности и плоскости S. На П2 горизонтальный контур совпадает с проекцией оси поверхности вращения, а на П1 является очерком. Тогда, вначале строим C2 и D2, а затем C1 и D1.

Точки 1(11, 12), 2(21, 22), …, 8(81, 82) – это промежуточные точки сечения. Они построены введение промежуточных прямолинейных образующих поверхности. Вначале проводим проекции образующих на П2, например, через точки 12, 22 (образующие – фронтально конкурирующие). На П3 эти образующие проецируются в точки 13 и 23. Горизонтальные проекции образующих построены по двум заданным, как показано на рис. 12.3, отложив соответствующие значения координаты y.

Рекомендуемая последовательность проектировочного расчета