Начертательная геометрия и машиностроительное черчение

Точка и линия на поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какойнибудь линии, принадлежащей поверхности.

Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат поверхности.

Следовательно, если точка принадлежит поверхности, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям некоторой линии этой поверхности.

Для построения точек, лежащих на поверхностях, пользуются графически простыми линиями (прямыми или окружностями) этой поверхности. В некоторых случаях применяют кривые, которые проецируются в графически простые линии.

Примеры построения недостающих проекций точек и линий, принадлежащих поверхностям, рассмотрены ниже для каждой классификационной группы поверхностей.

Поверхности

Из множества различных поверхностей выделяется несколько классов в зависимости от формы образующей, а также от формы, числа и расположения направляющих:

Поверхности закономерные и незакономерные.

Линейчатые (образованные перемещением прямой линии) и нелинейчатые (криволинейные) поверхности.

Поверхности развертывающиеся (или торсы) и неразвертывающиеся.

Поверхности с образующей постоянной формы и поверхности с образующей переменной формы.

Поверхности с поступательным, вращательным или винтовым движением образующей.

В настоящем пособии рассмотрены линейчатые поверхности, гранные, поверхности вращения, циклические и винтовые. 

Линейчатые поверхности

Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Тогда определитель такой поверхности имеет вид: Ф(t; k, l, m), где t – прямолинейная образующая; k, l, m – в общем случае криволинейные направляющие. Алгоритмическую часть определителя можно записать так: прямолинейная образующая в своем движении пересекает все три направляющие.

 Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма

В инженерной практике наибольшее распространение получили линейчатые поверхности, у которых одна из направляющих несобственной прямой. На чертеже ее представителем является плоскость параллелизма. Образующая в своем движении пересекает две направляющие и параллельна некоторой плоскости S плоскости параллелизма. Такие поверхности называют поверхностями Каталана. Определитель такой поверхности имеет вид: Ф(S; k, l).

В зависимости от формы направляющих различают следующие поверхности Каталана: цилиндроид, коноид и гиперболический параболоид (косая плоскость). Цилиндроид – линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, у которой обе направляющие являются кривыми линиями. На рис. 11.2а показан отсек (часть) цилиндроида, у которого плоскость параллелизма S горизонтально проецирующая. На горизонтальной плоскости проекций образующие параллельны между собой и параллельны следу плоскости S(S1). Фронтальные проекции образующих построены исходя из условия пересечения направляющих k и l в соответствующих точках 1, 2, 3, …, 10. У коноида, в отличие от цилиндроида, одна из направляющих прямая. Гиперболический параболоид получается в результате перемещения прямой по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим.

Образующая все время остается параллельной плоскости параллелизма. На рис. 11.2б плоскость S фронтально проецирующая и проекции образующих параллельны фронтальному следу плоскости S(S2).

Рассмотрим принадлежность точки поверхностям Каталана. Пусть задана фронтальная проекция точки A(A2), принадлежащей поверхности цилиндроида (рис. 11.2а). Требуется построить горизонтальную проекцию точки А. В соответствии с условием принадлежности точки поверхности, проведем через А2 проекцию линии m(m2), принадлежащей цилиндроиду. Так как линия m принадлежит поверхности, строим горизонтальные проекции точек пересечения кривой m с образующими цилиндроида. Множество полученных точек задают горизонтальную проекцию линии m(m1). Искомая проекция точки А(А1) будет расположена на m1.

Пусть теперь фронтальная проекция точки А(А2 ) задана на поверхности гиперболического параболоида. И в этом случае через А2 можно провести проекцию произвольной кривой m. Однако здесь известно, что проекции образующих параллельны следу плоскости S(S2). Тогда через А2 проводим проекцию образующей KL(K2L2) параллельно S2. Горизонтальную проекцию KL проводим через точки K1 и L1, принадлежащих направляющим k и l, соответственно. Искомая проекция точки А(А1) будет расположена на K1L1.

Рекомендуемая последовательность проектировочного расчета