Начертательная геометрия и машиностроительное черчение

Угол между прямой и плоскостью

 Определение. Углом между наклонной прямой и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между прямой и плоскостью принимается равным нулю. В случае перпендикулярности прямой и плоскости угол между ними по определению равен 90°. Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью заключен в отрезке 0 £ a £ 90°.

Задача. Даны прямая DE(рис. 9.4) и плоскость Σ(ΔАВС). Определить угол между ними.

Проекционное решение задачи основывается на построении прямоугольного треугольника ЕЕ1F (рис. 9.5), в котором: EF – гипотенуза на заданной наклонной а, при этом Е – произвольная точка, F = а Ç Σ, Σ – заданная плоскость; Е1F – катет на плоскости Σ, представляющий собой ортогональную проекцию отрезка EF; a = Ð(EF, FЕ1 ) – искомый угол. Рассмотрим алгоритм проекционного решения, представленного на рисунке 9.4.

1. В плоскости Σ выбирается линия уровня,

 например, горизонталь h(h1, h2 ). При этом

 h2 // x.

2. Вводится новая система плоскостей проекций П1 , П4 с осью x1 ^ h1 , такая, что 

 П4 ^ h .

3. На П4 строится вырожденная проекция А4В4 плоскости Σ и дополнительная 

  проекция D4Е4 прямой DE.

4. Определяются дополнительные проекции F4 и F1 точки пересечения F = а Ç Σ, при этом E1F1 , E4F4 – проекции гипотенузы EF в прямоугольном треугольнике ЕЕ1F.

5. Строится перпендикуляр Е4Е41 ^ А4В4 , при этом Е4Е41 = ЕЕ1 – катет 

 прямоугольного треугольника ЕЕ1F.

6. Введением системы плоскостей проекций П4, П5 с осью x2 // E4F4 и П5 // EF

 определяется НВ гипотенузы EF, равная E5F5.

7. В стороне от проекционных построений на КЧ строится прямоугольный

 треугольник ЕЕ1F по катету ЕЕ1 и гипотенузе EF.

Угол a= Ð(E1F, EF) является искомым.

Рассмотрим еще одно проекционное решение, основанное на треугольнике ЕЕ1F.

 Задача. Даны прямая а и плоскость Σ(ΔАВС). Определить угол между ними

(рис.  9.6).

 

 

 

 

В прямоугольном треугольнике ЕЕ1F искомый угол a может быть определен как a = 90°j, где j – угол между прямой а, на которой расположена гипотенуза EF

(см. рис. 9.5), и перпендикуляром t ^ Σ, на котором расположен катет Е1Е1.

Предлагаемое ниже проекционное решение данной задачи направлено на определение угла j = Ð(а, t).

1. Построим в плоскости Σ две линии уровня h(h1, h2 ) и f(f1, f2), где h2 // х, f1 // х.

 2. Из произвольной точки Е Î а опустим перпендикуляр t ^ Σ, при этом t2

 проходит через E2 , t2 ^ f2; t1 проходит через E1 , t1 ^ h1 .

3. Определяем угол j  = Ð(а, t ) в следующей последовательности:

 1) в плоскости Δ(а, t ) выбирается линия уровня, например, h1(h11, h21 ), где 

 h21 // х;

 2) введением системы плоскостей проекций  П1 , П4 с осью x1 ^ h11 строится на

  П4 вырожденная проекция Е4 h41 плоскости Δ;

 3) введением системы плоскостей проекций П4 , П5 с осью x2 // Е4 h41 строится на

 П5 угол j  = Ð(t5 , а5 );

 4) построением прямого угла определяется искомый угол a = Ð(а, Σ) = 90°j.

 

Рекомендуемая последовательность проектировочного расчета