Начертательная геометрия и машиностроительное черчение

Метрические задачи. Ортогональная проекция прямого угла

 К метрическим задачам, изучаемым в учебном курсе начертательной  геометрии, относятся задачи, в которых требуется определить метрические характеристики заданной фигуры – длину, угол, площадь и др., а также метрические свойства и характеристики, обусловленные расположением фигуры относительно плоскостей проекций или относительно другой (других) фигур – перпендикулярность, расстояние и угол. Проекционное решение таких задач основывается на метрических свойствах ортогонального проецирования на плоскость и обратимости чертежа Монжа. Метрическими свойствами ортогонального проецирования являются существующие зависимости между длинами отрезка прямой линии и его проекции, а также между величинами угла и его проекции (см. п. 1). Из этих зависимостей вытекает теорема о проецировании прямого угла: для того, чтобы прямой угол проецировался в прямой угол, необходимо и достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна этой плоскости. Рассмотрим геометрическое доказательство. Оно позволяет более наглядно увидеть числовую и проекционную взаимосвязь двух геометрических фигур – прямого угла и его проекции.

Необходимость. Пусть ÐBAC = ÐB1A1C1 = 90° (рис. 6.1). Докажем, что АС // П1. Предположим, что АВ не параллельна П1 (если AB // П1, то плоскость угла BAC параллельна П1 и по свойству 9 ортогонального проецирования имеем:

ÐBAC =ÐB1A1C1 = 90°). Поскольку ÐB1A1C1 Ì П1, ÐB1A1C1 = 90° и AA1 ^ П1, как проецирующая линия, то плоскости S(A1B1,AA1) и D(A1C1, AA1) взаимно перпендикулярны. В этом случае АВ и AA1 суть наклонная и ее ортогональная проекция на плоскости D. Так как AC Ì D и АС ^ АВ, то по теореме о трех перпендикулярах имеем АС ^ AA1, т.е. АС // П1.

 Достаточность. Пусть ÐВАС = 90°, АС // П1. Докажем, что Ð B1A1C1 = 90°. При данных условиях имеем: AB наклонная, А1В1 – ее проекция на П1. По теореме о трех перпендикулярах имеем: (АС ^ АВ, АС // П1 ) Þ АС ^ А1В1. Из АС // П1 следует АС // А1С1. Следовательно, А1С1 ^ А1В1 и ÐB1A1C1 = 90°.

 Из обратимости комплексного чертежа (КЧ) следует, что если А2В2, А1В1 и С2В2, С1В1 – проекции пересекающихся прямых АВ и СВ, то при выполнении одного из двух следующих проекционных условий:

1) А1В1 ^ С1В1 и А2В2 // x либо С2В2 // x;

  2) А2В2 ^ С2В2 и А1В1 // x либо С1В1 // x

в пространстве имеет место перпендикулярность АВ ^СВ (рис. 6.2).

 Метрические задачи курса начертательной геометрии можно условно разделить на следующие группы:

1) построение взаимно перпендикулярных фигур:

 прямых, плоскостей, прямых и плоскостей;

2) определение длин отрезков (расстояний) и

 натуральной величины (НВ) плоской фигуры;

3) определение углов между фигурами.

  Рассмотрим примеры решений на КЧ метрических задач в каждой группе.

Рекомендуемая последовательность проектировочного расчета