Начертательная геометрия и машиностроительное черчение

Прямая занимает проецирующее положение

На рис. 5.3 изображена плоскость общего положения P (DABC) и горизонтальнопроецирующая прямая EF, пересекающая плоскость в точке M. Фронтальная проекция точки точка M2 совпадает с точками E2 и F2, так как M принадлежит прямой. Для построения горизонтальной проекции искомой точки пересечения проведем через точку M в плоскости P прямую (например, KL). Сначала построим ее фронтальную проекцию, а затем горизонтальную. Точка M является точкой пересечения прямых EF и KL.Так как точка M одновременно лежит на прямой EF и в плоскости P (KLÎP), то она является точкой их пересечения.

Для установления видимости проекции прямой на П1 вводим конкурирующие точки 1 и 2. Так как точка 2 дальше удалена от плоскости П1, то относительно П1 она будет видимой, а невидимой будет точка 1. Заметим, что точка 2 принадлежит прямой EF. Следовательно, в окрестности точек 11=21 до M1 проекция прямой будет видимой. Выше M1 проекция прямой будет невидимой. Невидимый участок проекции прямой показан штриховой линией.

Прямая и плоскость занимают общее положение

Пусть даны плоскость S и прямая AB (рис. 5.4a). В общем случае они имеют одну общую точку. Эта точка, принадлежащая прямой и плоскости, будет принадлежать и некоторой прямой n этой плоскости. Заметим, что в плоскости через точку можно провести однопараметрическое множество прямых ¥. Выделив хотя бы одну из них, легко определим искомую точку. Следовательно, поставленная задача сводится к отысканию некоторой прямой n, принадлежащей заданной плоскости и пересекающей исходную прямую AB.

Прямую n можно рассматривать как проекцию прямой AB на заданную плоскость S (в более широком смысле прямая n есть отображение прямой AB на плоскость S). Для случая линейного проецирования прямые n и AB принадлежат одной плоскости и являются конкурирующими относительно плоскости S. Последнее используем для определения точки пересечения прямой и плоскости. Тогда алгоритм решения поставленной задачи будет следующим:

на заданной плоскости S проведем проекции прямой KL (рис. 5.4б), конкурирующей с заданной прямой AB относительно плоскостей S и Π2; сначала находим K2L2, а затем K1L1; прямые KL и AB расположены во фронтальнопроецирующей плоскости;

находим точки M1=K1L1ÇA1B1 и M2ÎA2B2 пересечения проекций прямых AB и KL; точка M(M1,M2)искомая;

определяем видимость прямой и плоскости относительно плоскостей проекций.

 

Для определения видимых участков прямой AB анализируем положение конкурирующих точек скрещивающихся прямых. Так, точки 1 и 2 находятся на скрещивающихся прямых AB и DE: 1ÎDE, 2ÎAB. Их горизонтальные проекции 11 и 21 совпадают. По фронтальным проекциям точек 1 и 2 при взгляде по на плоскость П1 видно, что точка 1 (точка плоскости) находится над точкой 2 (точка прямой) , то есть она закрывает точку 2 при проецировании на горизонтальную плоскость проекций. Следовательно, прямая AB на участке M2 расположена под треугольником CDE. Тогда горизонтальная проекция отрезка M2 M121 будет невидимой. Она показана штриховой линией.

Невидимый участок на фронтальной проекции прямой AB установлен анализом положения точек L и 3 (LÎCE, 3ÎAB), принадлежащих скрещивающимся прямым AB и CE. По горизонтальной проекции видно, что если смотреть на плоскость П2, то невидимой будет точка 3, принадлежащая, прямой. Она ближе расположена к плоскости проекций П2. На фронтальной плоскости проекций точка L закрывает точку 3. В этом месте прямая AB закрыта треугольником СDE. На П2 невидимый участок M232 показан штриховой линией.

Задача на пересечение прямой и плоскости общего положения может быть сведена к одному из частных случаев, рассмотренных выше. Для этого прямую или плоскость нужно перевести в проецирующее положение. Ниже приведено решение (рис. 5.5), в котором методом замены плоскостей проекций в проецирующее положение переведена плоскость. На П4 определена проекция M4 искомой точки, а затем по линиям связи установлены проекции точки и на исходных плоскостях проекций. Исходные данные взяты такими же, что и в предыдущей задаче. Поэтому установление видимости проекций прямой не рассматривается.

Рекомендуемая последовательность проектировочного расчета