Задачи начертательной геометрии

История искусства
Абстрактное искусство
Агитационно-массовое искусство
Чикагская архитектурная школа
Петер Беренс
Поп-культура и поп-дизайн 60-х.
История дизайна
Баухауз
Здание Баухауз в Дессау
Традиции Баухауз в дизайне Восточной Германии
Идеи дизайна в эпоху промышленных революций
Футуристическая  мода 60-х
Радикальный дизайн. Антидизайн
Эргономичный дизайн
Послевоенный дизайн в Европе и России
Промышленные выставки
Графика
Начертательная геометрия
Задачи начертательной геометрии
Туризм
Курс теоретической механики
Электротехника
Теория электрических цепей
Лабораторные работы по электротехнике
Электрические машины
Проводниковые материалы
Основы теории электромагнитного поля
Энергия электромагнитного поля
Физика
Примеры решения задач
Лабораторные работы по оптоэлектронике
Электроника полупроводников
Информатика
Концепция организации сетей
Беспроводные сети
Глобальные сети
Математика
Дифференцирование исчисление
Интегральное исчисление
Элементы комбинаторики
Непрерывность функции
Комплексные числа
Дискретная математика
Кривые второго порядка
Линейная алгебра
Элементы векторной алгебры
Введение в математический анализ
Производная функции
Теоремы о производных
Первообразная и неопределённый интеграл.
Определённый интеграл
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Знакопеременные ряды
Правила вычисления неопределенных интегралов
Признаки сравнения несобственных интегралов
Задача
Разложение  в ряд Фурье функции
Вычисление криволинейного интеграла
 

Ортогональное (прямоугольное) проецирование и его свойства Для обозначения точек будем использовать прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры, для обозначения линий - строчные буквы латинского алфавита, для обозначения поверхностей (плоскостей) - прописные буквы греческого алфавита. Возможны и другие обозначения, которые будут введены в дальнейшем.

Комплексный чертеж Изображение фигуры, полученное при проецировании фигуры на плоскость, дает информацию о фигуре. Однако, эта информация является неполной. По изображению на плоскости нельзя восстановить фигуру и ее положение в пространстве, т.е. чертеж, содержащий одну проекцию фигуры необратим.

Комплексный чертеж прямой Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. Прямая, параллельная хотя бы одной из плоскостей проекций, называется прямой частного положения.

Комплексный чертеж плоскости Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения. Плоскость, перпендикулярная хотя бы одной из плоскостей проекций называется плоскостью частного положения.

Взаимное положение точек и прямых, их принадлежность плоскости Взаимное положение точки и прямой. Деление отрезка прямой в данном отношении

Преобразование комплексного чертежа. В курсе начертательной геометрии под преобразованием комплексного чертежа фигуры обычно понимается его изменение, вызванное перемещением фигуры в пространстве, или введением новых плоскостей проекций, или использованием других видов проецирования. Применение различных методов (способов) преобразования комплексного чертежа упрощает решение многих задач.

Проецирование прямой общего положения в точку на новую плоскость проекций Придание фигурам частного положения относительно плоскостей проекций значительно облегчает решение многих задач. Для того, чтобы прямая общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей прямой, необходимо, чтобы новая плоскость проекций была перпендикулярна прямой. Прямая на эту плоскость спроецируется в точку.

Первая и вторая позиционные задачи Позиционные задачи – это задачи, в которых требуется определить положение фигуры относительно плоскостей проекций или взаимное положение фигур – их принадлежность, параллельность и пересечение.

Прямая и плоскость занимают общее положение

Взаимное положение плоскостей Общим случаем взаимного положения двух плоскостей является их пересечение. В частном случае, когда линия пересечения удалена в бесконечность, плоскости становятся параллельными. Параллельные плоскости совпадают при сокращении расстояния между ними до нуля.

Построение взаимно перпендикулярных фигур В качестве взаимно перпендикулярных будем рассматривать пары фигур: две прямые, прямая и плоскость, две плоскости, прямая и поверхность.

Перпендикулярность двух плоскостей Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные для решения последующих метрических задач.

Расстояние от точки до фигуры (точки, прямой, плоскости) Приведем сведения из планиметрии, необходимые для решения обозначенных задач.

Определение расстояния между скрещивающимися прямыми

Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить  расстояние между ними.

Угол между прямой и плоскостью Определение. Углом между наклонной прямой и плоскостью называется угол между наклонной и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, то угол между прямой и плоскостью принимается равным нулю. В случае перпендикулярности прямой и плоскости угол между ними по определению равен 90°.

Кривая линия – это множество последовательных положений точки, перемещающейся в пространстве. Такое определение дает наглядное представление о кривой линии как о траектории точки.

Понятие поверхности. В начертательной геометрии поверхности рассматриваются как множество последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Такой способ образования поверхности называется кинематическим.

Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Тогда определитель такой поверхности имеет вид: Ф(t; k, l, m), где t – прямолинейная образующая; k, l, m – в общем случае криволинейные направляющие. Алгоритмическую часть определителя можно записать так: прямолинейная образующая в своем движении пересекает все три направляющие.

Поверхности вращения. Поверхностью вращения называется поверхность, полученная при вращательном движении образующей (прямой или кривой) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения (рис. 11.8). Геометрической частью определителя поверхности вращения является образующая и ось вращения.

Принадлежность точки и линии поверхности вращения При решении задач на принадлежность точки поверхности вращения в качестве графически простых линий наиболее часто используются окружности.

Циклическая поверхность – это множество последовательных положений окружности постоянного или переменного радиуса, перемещающейся в пространстве. Циклическая поверхность общего вида задается тремя направляющими m, n и k. Одна из них (n) задает положение центров окружностей, другая (m) – положение плоскостей окружностей, а третья (k) – радиусы окружностей

Пересечение поверхности и плоскости Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью.

Пересечение поверхностей Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую. Любая точка этой линии принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, проведенных на этих поверхностях.

Способ эксцентрических сфер

Пересечение поверхностей второго порядка В общем случае две поверхности второго порядка пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка. Следует отметить, что при некоторых особых положениях относительно друг друга поверхности второго порядка могут пересекаться по плоским кривым второго порядка, то есть пространственная кривая пересечения распадается на две плоские кривые

Развертки поверхностей Если поверхность, представляемую в виде тонкой, гибкой и нерастяжимой пленки, можно путем изгибания совместить с плоскостью без разрывов и складок, то поверхность, обладающая этим свойством, называется развертывающейся, а фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой.

Приближенные развертки развертывающихся поверхностей

Условные развертки неразвертывающихся поверхностей Рассмотрим несколько примеров, следуя указанной ранее схеме построения условной развертки поверхности.

Аксонометрические проекции В переводе с греческого языка слово "аксонометрия" означает измерение по осям. Особенностью аксонометрического проецирования является то, что вместе с фигурой на плоскость проецируется и пространственная система координат, связанная с этой фигурой. При этом ни одна из осей системы координат не проецируется в точку. Использование аксонометрического проецирования позволяет повысить наглядность изображения фигуры.

Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция Ортогональная изометрическая проекция (изометрия) является ортогональной аксонометрической проекцией при u = v = w. По формуле (14.1) получим u = v = w = 0,82. По формуле (14.2) определим, что угол между любыми осями 1200.

 

Начертательная геометрия, физика полупроводников