Курс высшей математики Примеры решений и лекции

Курс высшей математики Примеры решений и лекции

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

 

  Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 


 Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

 Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

  Уравнение касательной к кривой:  

 Уравнение нормали к кривой: .

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

  Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

 Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.

6.2. Односторонние производные функции в точке.

 Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения  при условии, что это отношение существует.

 

 Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.

 Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

  Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

 Понятно, что это условие не является достаточным.

6.3. Основные правила дифференцирования.

  Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢

2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v

3), если v ¹ 0

 Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

6.4. Производные основных элементарных функций.

 1)С¢ = 0; 9)

 2)(xm)¢ = mxm-1; 10)

  3)  11)

 4)  12)

  5)  13)

  6)  14) 

 7) 15)

  8)  16) 

Дифференцирование функций. Производная сложной функции. Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда 

Дифференциал функции. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

 


Вычисление криволинейного интеграла