Курс высшей математики Примеры решений и лекции

Курс высшей математики Примеры решений и лекции

ПРИМЕР. Найти производную  от функции, заданной параметрически: .

Решение.

.

ПРИМЕР 9. Найти область определения функции

 

Решение.

 Данная функция определена для всех х, не обращающих в нуль знаменатель, т.е. не являющихся корнями уравнения . Это все числа вида .

 Таким образом, область определения D(у) - вся числовая прямая, кроме точек .

ПРИМЕР 10. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

 Функция определена и непрерывна в интервале (0;+¥). В граничной точке  области определения функция имеет бесконечный разрыв, так как .

 Так как в точке  функция имеет бесконечный разрыв, то прямая  является вертикальной асимптотой. Найдем уравнение наклонной асимптоты (если она существует).

;

  .

(При нахождении пределов воспользовались правилом Лопиталя).

 Итак,  и уравнение асимптоты . Таким образом, график имеет в качестве асимптот оси координат.

 Найдем производную функции и критические точки:

. Стационарная критическая точка: . Исследуем знак производной на интервалах(0;е) и (е;¥).

Подпись: еПодпись: 0Подпись: Х

Подпись: +Подпись: -

Составим таблицу:

Подпись: x	(0;e)	e	(e;+¥)
y`	+	0	-
y	возрастает	max	убывает

Экстремум функции: .

Найдем вторую производную и значения х, при которых график может иметь точку перегиба:

при .

 Определим знак второй производной в интервалах  и

 


Подпись: -

Подпись: +


Подпись: x	(0; )
 »4,48
( ;¥)

y``	-	0	+
график	выпуклый	точка перегиба	вогнутый

Составим таблицу:

y()=3/() » 0.33

График пересекает ось абсцисс в точке (1;0). Точек пересечения с осью ординат нет. Строим эскиз графика функции:


ПРИМЕР 11. Построить график функции, заданной уравнением в полярных координатах

 

Решение.

 Построим график данной функции в декартовых координатах для :

Из этого графика видно, что при  имеем .

 Поэтому требуемый график будет находиться в секторах, соответствующих данным значениям j, а также в секторах, симметричных им относительно начала координат (в силу того, что перед  стоит чётный коэффициент).

Учитывая характер изменения r в этих промежутках (от 0 до 1 и затем снова до 0) получим следующий график (восьмилепестковую розу):

ПРИМЕР 12. Исследовать сходимость ряда

Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости знакоположительного ряда. Найдём предел общего члена ряда

.

Так как данный предел не равен нулю, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно, он расходится.

ПРИМЕР 13. Разложить функцию  в ряд по степеням х.

 

Решение.

Разложим функцию в ряд Маклорена. Учитывая, что , разложим функцию на сумму двух более простых:

.

Далее преобразуем:

.

  Воспользуемся разложением:

.

*

 
 Получим (при  <1, т.е. при <2)

  то есть .

 Аналогично получим второе разложение:

.

Тогда: 

.

Окончательно получаем:

ПРИМЕР 14. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

 Введем подстановку , откуда . Тогда . Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:

.

ПРИМЕР 15. Найти неопределённый интеграл .

Решение.

 

Подведем под знак дифференциала знаменатель подынтегральной дроби:

.


Вычисление криволинейного интеграла