Курс высшей математики Примеры решений и лекции

Курс высшей математики Примеры решений и лекции

Признаки сравнения несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 Вопрос о сходимости несобственного интеграла по бесконечному промежутку эквивалентен вопросу о существовании предельного значения функции   при . Для существования предельного значения функции  при  необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующему условию Коши: для любого  можно указать такое А>0, что для любых  и , удовлетворяющих соотношению  выполняется неравенство:

(3) .

В этом утверждении (критерий Коши) важно то, что сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку не требует ограниченности подынтегральной функции при  (она может быть даже и не определена при ). Критерий Коши мало пригоден для практического применения (используется в ряде случаев для установления расходимости несобственных интегралов по бесконечному промежутку).

 Общий признак сравнения. Пусть на полупрямой   имеются две неотрицательные функции  и , удовлетворяющие неравенству: . Тогда  и из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла   следует расходимость интеграла .

Работая с общим признаком сравнения, надо иметь ввиду четыре разные ситуации при сопоставлении исследуемого на сходимость (или расходимость) интеграла  и известных (в смысле сходимости) интегралов  и . Представим все возможные ситуации при сопоставлении интегралов:

(4.1) 

(4.2)  сходится;

(4.3)  расходится;

(4.4) 

Из перечня возможных ситуаций при сопоставлении интегралов следует, что сходится «меньший» от сходящегося интеграла (формула (4.2)) и расходится «больший» от расходящегося интеграла (формула (4.3)); в остальных случаях сопоставления (формулы (4.1) и (4.4)) никакого заключения о поведении исследуемого интеграла сделать нельзя.

 Пример 5. Исследовать сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку с помощью общего признака сравнения:

 а). ; б). .

 Решения. а). В данном интеграле подынтегральная функция  непрерывна на всем промежутке интегрирования; в элементарных функциях исследуемый интеграл «не берется», поэтому сопоставим подынтегральную функцию с другой функцией  на всем промежутке интегрирования исходного интеграла, то есть при ; так как в данных условиях , то имеем следующее сопоставление интегралов: . Исследуемый интеграл является «меньшим» по отношению к сходящемуся интегралу, а потому согласию общему признаку сравнения он сходится.

б). Подынтегральная функция непрерывна и удовлетворяет соотношению   при , поэтому имеем следущее сопоставление интегралов: ; стало быть, «меньший» интеграл расходится, а поэтому «больший» интеграл и подавно будет расходиться согласно общему признаку сравнения (формула (4.3)). Итак, исследуемый интеграл расходящийся.

Упражнение 5. Исследовать сходимость интегралов:

а). ; б). .

 В ряде случаев в качестве опорного, реперного, известного интеграла (в смысле сходимости или расходимости) при сопоставлении интегралов по бесконечному промежутку удобно использовать так называемый частный признак сравнения, то есть интеграл: 

(5) ,

который сходится при  и расходится при . Частный признак сравнения несобственных интегралов первого рода есть интеграл с параметром , величина которого обуславливает поведение интеграла в смысле сходимости или расходимости. Так, по определению (1а) имеем: . При  предел конечный и интеграл сходится; при   предел бесконечный и интеграл расходится.

 Пример 6. Исследовать интегралы на сходимость, используя частный признак сравнения:

 а). ; б). .

Решения. а). Подынтегральная функция  на всем промежутке интегрирования непрерывна и меньше функции . Имеем следующее сопоставление интегралов исследуемого и опорного в виде частного и общего признаков сравнения: . Так как опорный интеграл сходится (формула (5)), то сходится и исследуемый интеграл (формула (4.2)).

б). Так как подынтегральная функция исследуемого интеграла  во всем промежутке интегрирования непрерывна и больше функции , то имеем сопоставление интегралов в виде частного и общего признаков сравнения: . Интеграл в правой части неравенства расходится (формула (5)); стало быть, исследуемый интеграл тоже расходится (формула (4.3)).

Упражнение 6. Исследовать интегралы на сходимость:

а). ; б). .

В ряде случаев удобно пользоваться при сопоставлении интегралов так называемым предельным признаком сравнения, который состоит в том, что рассматривается предел отношения положительных подынтегральных функций сопоставляемых интегралов: опорного  и исследуемого  при . Если этот предел существует и конечен, то есть:

(6) ,

то оба интеграла ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся. В частности, если функции и эквивалентны при , то эти функции одновременно либо интегрируемы, либо неинтегрируемые на промежутке . 

 Пример 7. Исследовать интегралы на сходимость:

 а). ; б). .

Решения. а). В качестве опорного интеграла возьмем сходящийся интеграл:  . Тогда ; стало быть, исходный интеграл сходится.

 б). В качестве опорного интеграла возьмем расходящийся интеграл: . Тогда ; стало быть, исследуемый интеграл расходится.

 Основная трудность при определении сходимости или расходимости исследуемого интеграла типа  с помощью признаков сравнения состоит в выборе опорного интеграла. В ряде случаев можно реализовать следующую методику. 1). Исследуем подынтегральную функцию исходного интеграла; если особенностей у исходного интеграла больше, чем одна, то разбиваем промежуток интегрирования так, чтобы на каждом участке интегрирования было по одной особенности. 2). Пытаемся упростить выражение подынтегральной функции с помощью эквивалентных преобразований при стремлении переменной к особой точке; полученное выражение можно принять за функцию  и исследовать интеграл . 3). Зная поведение интеграла , реализуем общий или предельный признаки сравнения.

 Пример 7а. Исследовать интегралы на сходимость или расходимость:

 1). ; 2). .

Решения. 1). Пусть ; при имеем: ; за функцию  можно принять ; тогда имеем реализацию предельного признака сравнения в виде: ; так как   расходится, то расходится и исследуемый интеграл.

 2). Подынтегральная функция  непрерывна при , так как ; в качестве функции можно взять ; тогда предельный признак сравнения дает конечное значение, то есть: , а поскольку интеграл  сходится, то сходится и исследуемый интеграл.

 Упражнение 7. Исследовать интегралы на сходимость:

а).; б).; в).; г)..

 

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

 До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных (знакопостоянных) функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией.

 Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку сходится и интеграл  по этому же промежутку, то первый интеграл называется абсолютно сходящимся.

 Если интеграл сходится, а интеграл  расходится, то первый интеграл называется условно сходящимся.

 Пример 8. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

 Решение. В начале исследуется данный интеграл вообще на сходимость, для чего проведем интегрированние по частям: пусть  тогда , далее . Так как последний интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится и интеграл , причем абсолютно. Исходный интеграл  при этом является сходящимся (кстати, сходимость этого можно определить быстрее с помощью признака сходимости Дирихле, который будет рассмотрен позже). Чтобы исследовать исходный интеграл на абсолютную сходимость, надо рассмотреть интеграл: . Так как  при , то имеем: . Интеграл  аналогично исходному интегралу  сходится, а интеграл  расходится; стало быть, и интеграл  является расходящимся. При этом исходный интеграл является условно сходящимся.

 Упражнение 8. Установить условную сходимость интеграла: .

 Пример 9. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: .

Решение: 

; стало быть, интеграл сходится абсолютно.

 

Упражнение 9. Установить абсолютную сходимость интеграла: .

 Установить условную сходимость при отсутствии абсолютной сходимости в ряде случаев позволяет так называемый признак сходимости Дирихле, в котором исследуется структура подынтегральной функции, если ее можно представить в виде произведения двух функций, а именно: , где  интегрируема и ограничена, то есть:

(7) ;

а функция  при  непрерывно дифференцируема и монотонна, причем:

(8) .

При выполнении условий, налагаемых на функции  и  интеграл

(9) 

сходится.

С помощью этого признака условную сходимость интеграла в примере 8 при отсутсвии абсолютной сходимости можно определить следующим образом:

 Имеем интеграл , который не является абсолютно сходящимся.

Представим подынтегральную функцию этого интеграла в виде произведения двух функций, то есть: , где , а . Функция  интегрируема и ограничена на бесконечном промежутке, так как: , а . Поскольку все условия признака Дирихле (Формулы (7) и (8)) выполнены, то исследуемый интеграл  сходится условно, ибо абсолютная сходимость этого интеграла места не имеет, что было показано в примере 8.

 Пример 10. Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл:

 Решение. Сначала сделаем в исследуемом интеграле замену переменной:

пусть , тогда ; если ; если ; итак, имеем:  где  является функцией интегрируемой и ограниченной на бесконечном промежутке (формула (7)), а  (выполняется формула (8)). Поскольку все условия признака Дирихле (формулы (7) и (8)) выполнены, то исследуемый интеграл   сходится. Исследуем интеграл на абсолютную сходимость, для чего рассмотрим интеграл . Т.к.  при , то  . Интеграл  сходится по признаку Дирихле, а интеграл  расходящийся; стало быть, интеграл  тоже расходящийся, при этом исследуемый интеграл  сходится условно.

 Упражнение 10. Установить условную сходимость интегралов Фронеля:

; .

 Интеграл типа (9) можно исследовать на условную сходимость ещё и с помощью так называемого признака сходимости Абеля, в котором так же исследуется структура подынтегральной функции, если её можно представить в виде произведения двух функций  и , на которые теперь наклкдываются следующие ограничения: интеграл от функции  по бесконечному промежутку, то есть:

(10) 

сходится, а функция  при  непрерывно дифференциируема, монотонна и непрерывна, а потому имеет конечный предел, то есть:

(11) , .

При выполнении указанных условий ((10) и (11)) интеграл типа (9) сходится.

Пример 11. Установить сходимость интеграла: ,  используя признак Абеля.

Решение. Исследуемый интеграл представим следующим образом: , где , а . Так как интеграл от функции  по бесконечному промежутку сходится (см. пример (8)), а , то все условия признака Абеля выполнены; стало быть, исследуемый интеграл сходящийся. Характер сходимости исходного итеграла (сходится условно или абсолютно) определится после исследования данного интеграла на абсолютную сходимость, для чего надо исследовать интеграл: . Так как , то .

 Интеграл  сходится по признаку Дирихле, так как , а . Интеграл  расходится, что можно установить по предельному признаку сравнения:  при ; тогда в кочестве сопоставляемой функции имеем , а , что означает расходимость интеграла . Стало быть, интеграл  тоже расходящийся. Теперь ясен и характер сходимости исходного интеграла : он сходится условно.

 Упражнение 11. Исследовать характер сходимости интеграла: .

Признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций Общий и предельный признаки сравнения несобственных интегралов от разрывных функций аналогичны таким же признакам для несобственных интегралов по бесконечному промежутку

Главные значения расходящихся несобственных интегралов К несобственным интегралам относятся так называемые интегралы в смысле главного значения. Если несобственный интеграл существует (сходится), то существует и интеграл в смысле главного значения и эти интегралы совпадают. Из существования интеграла в смысле главного значения не следует существование (сходность) соответствующего несобственного интеграла. Рассмотрим подробнее главные значения расходящихся несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от разрывных функций.

Интегралы Задача . Вычислить .

 


Вычисление криволинейного интеграла