Курс высшей математики Примеры решений и лекции

Курс высшей математики Примеры решений и лекции

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница.

 Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где

 Если у знакочередующегося ряда   абсолютные величины ui убывают   и общий член стремится к нулю , то ряд сходится.

24.2. Абсолютная и условная сходимость рядов.

 Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

  (1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

  (2)

 Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

 Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого e>0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

 По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

 Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

 Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

 Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд  расходится.

24.3. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

Пусть - знакопеременный ряд.

 Признак Даламбера. Если существует предел , то при r<1 ряд  будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

 Признак Коши. Если существует предел , то при r<1 ряд  будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

 

24.4. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

 1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.

 Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.

 2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

 4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

 5) Если ряды и  сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и s, то ряд, составленный из всех произведений вида  взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S×s - произведению сумм перемножаемых рядов.

 Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.

Функциональные ряды.

Функциональные последовательности.

 Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.

 Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

 Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

 Определение. Последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(e, x), такой, что неравенство

выполняется при n>N.

 При выбранном значении e>0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.

 Определение. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0 существует номер N = N(e), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

 Пример. Рассмотрим последовательность

Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.

 Построим графики этой последовательности:

sinx 

 Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х.

25.2. Функциональные ряды.

 Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда   называются функции

 Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности  называется суммой ряда  в точке х0.

 Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.

 Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

 Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

 Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

 Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

 Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:

.

 Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд   мажорируется числовым рядом .

 Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Так как  всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что общегармонический ряд  при a=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

 Пример. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство  т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-µ, -1) È (1, µ) расходится.

25.3. Свойства равномерно сходящихся рядов.

 1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

 Если члены ряда  - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

 2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

 Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

 3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

 Если члены ряда  сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

 

 На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

Степенные ряды. Понятие степенного ряда. На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд. Определение. Степенным рядом называется ряд вида

. Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F¢(x) = f(x), x Î (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx.

 


Вычисление криволинейного интеграла