Введение в математический анализ.
Числовая последовательность.
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность
x1, х2, …, хn = {xn}
Общий элемент последовательности является функцией от n.
xn = f(n)
Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.
Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …
{xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …
Для последовательностей можно определить следующие операции:
Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …
Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.
Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.
Частное последовательностей:
при {yn} ¹ 0.
1.2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что
xn £ M.
Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что
xn ³ M
Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:
Это записывается: lim xn = a.
В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.
Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.
Пример. Доказать, что предел последовательности lim
.
Пусть при n > N верно
, т.е.
. Это верно при
, таким образом, если за N взять целую часть от
, то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3,
имеет пределом число 2.
Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2
Очевидно, что существует такое число n, что
, т.е. lim {xn} = 2.
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.
xn ® a; xn ® b; a ¹ b.
Тогда по определению существует такое число e >0, что
Запишем выражение:
А т.к. e- любое число, то
, т.е. a = b. Теорема доказана.
Теорема. Если xn ® a, то
.
Доказательство. Из xn ® a следует, что
. В то же время:
, т.е.
, т.е.
. Теорема доказана.
Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность
не имеет предела, хотя
1.3. Монотонные последовательности.
Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.
2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.
3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.
4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная
{xn} = n – возрастающая и неограниченная.
Пример. Доказать, что последовательность {xn}=
монотонная возрастающая.
Найдем член последовательности {xn+1}=
Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}=
, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.
Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность
{xn} =
.
Найдем
. Найдем разность
, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.
Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность
х1 £ х2 £ х3 £ … £ хn £ xn+1 £ …
Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.
Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.
Т.к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < xN £ xn,
xn > a - e.
Отсюда a - e < xn < a + e
-e < xn – a < e или ôxn - aô< e, т.е. lim xn = a.
Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.
Теорема доказана.
1.4. Число е.
Рассмотрим последовательность {xn} =
.
Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.
По формуле бинома Ньютона:
или, что то же самое
Покажем, что последовательность {xn} – возрастающая. Действительно, запишем выражение xn+1 и сравним его с выражением xn:
Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая.
Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3.
Итак, последовательность
- монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.
Из неравенства
следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем:
переходя к пределу, получаем
Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.
Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…
Аналогично можно показать, что
, расширив требования к х до любого действительного числа:
Предположим:
Найдем
![]()
Число е является основанием натурального логарифма.
Выше представлен график функции y = lnx.
1.5. Связь натурального и десятичного логарифмов.
Пусть х = 10у, тогда lnx = ln10y , следовательно lnx = yln10
у =
, где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.
Предел функции. Предел функции в точке
Бесконечно малые функции. Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если
.
Комплексные числа. Определение. Комплексным числом z называется выражение
, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: