Квантовая физика примеры решения задач Теория электрических цепей Основы теории электромагнитного поля huilesessentiellespour.info

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Туннельный эффект

Рассмотрим потенциальный барьер высотой  в области , на который падают свободные частицы.

Имеются три области – области I и III, в которых , и область II, в которой . Рассмотрим частицы с энергией . В классической механике так как  (- кинетическая энергия частицы). Значит, классическая частица не может проникнуть вглубь барьера. Точка  является точкой поворота: столкнувшись с барьером, частица отражается и летит в обратном направлении. Если , то классическая частица беспрепятственно проходит область II над барьером.

Итак, для классической частицы барьер не создаёт никаких преград, если , и является непроницаемым, если .

Поведение квантовой частицы совершенно иное.

В областях I и III движение частицы является свободным:

.

В области II движение описывается уравнением

.

Решения в различных областях запишутся следующим образом:

  (24)

Составляющие  и  описывают волны, падающие на барьер, и отражённые от барьера волны,  - прошедшая сквозь барьер волна. Эти функции нужно подчинить  условиям непрерывности вместе с первой производной в точках :

Подставляя в последние равенства выражения (24), получаем систему уравнений

 

Решив эту систему уравнений, можно выразить амплитуду  прошедшей волны через амплитуды   падающей и  отраженной волн.

Как решить эту систему? Исключаем  из первых двух:

.

Затем исключаем  из двух других:

.

Получаем, таким образом, систему двух уравнений для  и . С помощью последнего уравнения выражаем   через ,

 ,

и затем  подставляем в первое:

.

Выразив  и  через амплитуду падающей волны , можно теперь с помощью приведенной выше системы уравнений выразить амплитуду  прошедшей волны через амплитуду падающей: .

Воспользуемся формулой для плотности потока вероятности:

.

Вычислим плотности потока падающей и прошедшей волн:

и отношение плотности потока прошедшей к плотности потока падающей волн:

.  (25)

Величина  называется коэффициентом прохождения частицы сквозь барьер (или коэффициентом прозрачности барьера), а величина  - коэффициентом отражения от барьера. В силу постоянства потока вероятности вдоль оси  () величины  и  связаны между собой равенством: . В самом деле, вычислим плотность потока вероятности  в состояниях  и  (24):

.

Отсюда, учитывая равенство , выводим:   .

Неравенство  означает, что квантовая частица способна проходить сквозь барьер. Это явление называется туннельным эффектом.

Расчёт показывает, что

 (26)

где  - глубина проникновения в классически недоступную область (см. (22)), . Из (26) следует, что  при . Следовательно, туннельный эффект - чисто квантовое явление. Величина  зависит от : чем шире барьер, тем меньше коэффициент прозрачности барьера.

Приведем численную оценку. При  получаем:

Если же положить , то при той же величине величина  возрастет на 8 порядков и коэффициент прохождения   будет практически равен нулю.


Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел