Квантовая физика примеры решения задач Теория электрических цепей Основы теории электромагнитного поля

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Простейшие задачи квантовой механики

Содержание

Свободное движение квантовой частицы. Фазовая ячейка.

Движение квантовой частицы в однородном электрическом поле.

Квантовый гармонический осциллятор.

Частица в потенциальной яме.

Туннельный эффект.

Два типа туннельных эффектов.

Примеры туннельных переходов второго типа.

Свободное движение квантовой частицы. Фазовая ячейка

Рассмотрим движение квантовой частицы в отсутствие силового поля, т.е. при . Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний (для одномерного движения)

  (1)

можно записать в виде

.  (2)

Подстановка (2) в (1) приводит к следующему выражению для энергии частицы: . Значит, энергетический спектр свободной квантовой частицы непрерывен и ограничен снизу: .

  Вычисляем плотность вероятности нахождения частицы в данной точке:

 .

Последнее равенство означает, что свободная частица с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства, т.е. она равномерно размазана по всему пространству. Поэтому интеграл нормировки волновой функции оказывается расходящимся:

.

Возникшее затруднение устраняется, если считать, что движение частицы происходит лишь в области , где  - очень большое, но конечное число. На волновую функцию накладываем условие периодичности (циклическое граничное условие) , означающее, что точки на оси , отстоящие друг от друга на , эквивалентны. Подставляя в условие периодичности выражение (2) для волновой функции, получаем уравнение

,

решение которого имеет вид:

.  (3)

Согласно (3), импульс и энергия свободной частицы принимают лишь избранные значения, т.е. квантуются: . Так как ширина области, в которой происходит движение частицы (основная область), очень велика, то получается квазинепрерывный спектр энергии – расстояние между уровнями энергии очень мало. Из условия нормировки  вычисляем постоянную нормировки волновой функции: .

 Число квантовых состояний, импульсы которых лежат в интервале , а координата  лежит в области , определим с помощью формулы (3):

 .

Аналогично определяем число квантовых состояний  и , соответствующих движению частицы вдоль координатных осей  и . Полное число квантовых состояний, приходящихся на интервал  в пространстве импульсов и на объем , составляет (в случае трехмерного движения):

, (4)

где .

 Правая часть равенства (4) представляет собой отношение объема области фазового пространства, в которой происходит движение частицы, к объему  некоторой области фазового пространства, которая называется фазовой ячейкой. Последнюю естественно интерпретировать как такую область, которая приходится на одно квантовое состояние свободной частицы (при трехмерном движении). Напомним, что в классической механике одному состоянию частицы соответствует точка  в фазовом пространстве. Как видим, в квантовой механике на одно квантовое состояние приходится целая область фазового пространства объемом . Очевидно, эта особенность квантового состояния обусловлена тем, что квантовая частица подчиняется корпускулярно-волновому дуализму.


Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел