Квантовая физика примеры решения задач Теория электрических цепей Основы теории электромагнитного поля

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Интегралы движения

В классической механике, если  некоторая функция, то

.

Условие того, что величина  является интегралом движения, выражается равенством

.

В квантовой механике, по аналогии, если - оператор в представлении Гейзенберга, т.е. , то 

,

где  - квантовые скобки Пуассона. Величина  будет сохраняться, если

.

Если оператор  явно не зависит от времени, то интеграл движения подчиняется условию

или, что то же самое, условию

.  (37)

Таким образом, физическая величина в квантовой механике сохраняется, если её оператор в представлении Гейзенберга коммутирует с оператором Гамильтона.

Калибровочное преобразование потенциалов поля и волновой функции

Оператор Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном поле имеет вид:

.  (38)

Поскольку , то, полагая , выводим:

.

Калибровочное преобразование

  (39)

не изменяет напряжённостей поля:

,

  .

В связи с неоднозначностью потенциалов волновые функции также определяются неоднозначно. Однако эта неоднозначность не должна отражаться на значениях физических величин. В частности, при калибровочном преобразовании величина  должна быть неизменной. Значит, наряду с преобразованием (39) нужно выполнить такое преобразование волновой функции:

,

где  - вещественная величина. Тогда , и нужно только потребовать, чтобы уравнение для  было по форме таким же, как и уравнение для . Подставим в уравнение Шредингера функцию , одновременно выполняя калибровочное преобразование (39):

Потребуем, чтобы обращались в нуль суммы указанных в последнем равенстве подобных членов, т.е. чтобы выполнялись равенства:

  (40)

Если положить , то условия (40) выполняются автоматически, и в результате получим уравнение Шредингера в штрихованных обозначениях:

  .

Мы вернулись, таким образом, к исходному динамическому уравнению. Таким образом, калибровочное преобразование полей (39) нужно дополнить следующим преобразованием волновой функции:

. (41)

Выражение (21) для плотности тока вероятности  выведено в предположении, что отсутствует вектор-потенциал (). Если , выражение для  можно вывести тем же способом, что и в разделе 7, т.е. с помощью временного уравнения Шредингера, в котором теперь оператор Гамильтона будет определяться формулой (38). Приведем окончательную формулу для вектора :

.  (42)

Контрольные вопросы

Можно ли одновременно измерить кинетическую и потенциальную энергии квантовой частицы?

Что такое оператор Гамильтона?

Какое состояние квантовой частицы называется стационарным?

Какой волновой функцией описывается стационарное состояние?

Что такое основное состояние и является ли оно стационарным?

Как зависит от времени волновая функция стационарного состояния?

Что такое энергетический спектр квантовой системы?

Что такое уровень энергии (вырожденный, невырожденный) квантовой системы?

Как зависит от времени плотность вероятности нахождения частицы в стационарном состоянии?

Как формулируется принцип причинности в квантовой механике?

Что такое задача Коши для временного уравнения Шредингера?

Какое значение имеет уравнение Шредингера в квантовой механике?

Что такое оператор временной эволюции? Какому уравнению он подчиняется?

Какое значение имеет унитарность оператора эволюции с точки зрения физической интерпретации квантовой механики?

Какой вид имеет оператор эволюции, если оператор Гамильтона в представлении Шредингера не зависит от времени?

Чем отличается представление Шредингера от представления Гейзенберга?

Какому уравнению подчиняется волновая функция в представлении взаимодействия?

Каков физический смысл уравнения непрерывности?

Чему равна плотность потока вероятности в состоянии, волновая функция которого вещественна?

Что такое квантовое уравнение Ньютона?

При каком условии физическая величина, описывающая квантовую частицу, является интегралом движения?

Как определяются квантовые скобки Пуассона?

Как преобразуется волновая функция при калибровочном преобразовании потенциалов электромагнитного поля?


Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел