Физика примеры решения задач Теория электрических цепей Основы теории электромагнитного поля

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Принцип причинности в квантовой механике.

Временное уравнение Шредингера

Согласно основному постулату квантовой механики, волновая функция  полностью описывает поведение системы. Это значит, что, зная волновую функцию в момент времени , можно определить волновую функцию в следующий момент времени . Нахождение волновой функции в момент времени   по известной волновой функции в предыдущий момент  составляет основную задачу квантовой динамики. Для решения этой задачи нужно знать временное уравнение, описывающее изменение во времени (временную эволюцию) волновой функции.

Итак, мы должны иметь возможность определить волновую функцию по известной волновой функции . Это требование выражает собой принцип причинности (динамический принцип) в квантовой механике: состояние микросистемы в начальный момент времени и закон действия физических полей на микрочастицу в этот момент полностью определяют ее состояние в последующие моменты времени.

Чтобы учесть принцип причинности, разложим волновую функцию в ряд Тейлора по степеням :

 .

В силу принципа причинности величина  должна выражаться через , т.е. должно выполняться равенство:

,  (6)

где  - некоторый оператор, учитывающий взаимодействие частицы с внешними полями. Равенство (6) является основным уравнением квантовой динамики, определяющим временную эволюцию волновой функции.

Вид оператора  может быть только постулирован, его вывести невозможно. Подсказку относительно вида этого оператора можно получить при рассмотрении свободного движения микрочастицы. Волновая функция такого движения - это волна де Бройля:

.

Здесь мы учли математическую формулировку корпускулярно-волнового дуализма (см. (11) из Лекции 1): . Прямая проверка показывает, что функция   подчиняется уравнению:

  , 

где . Значит, для свободного движения . В квантовой механике этот частный результат обобщается на случай любой квантовой системы, т.е. принимается, что для произвольной микросистемы

, (7)

где  - оператор Гамильтона.

В результате приходим к временному уравнению Шредингера:

.  (8)

Это основное уравнение движения квантовой механики. в квантовой механике оно играет такую же роль, какую уравнения Ньютона играют в классической.

Задача Коши для уравнения (8) состоит в том, чтобы найти такое решение уравнения движения (8), которое подчиняется начальному условию:

 ,

где  - заданная функция координат. Отметим, что в начальный момент времени  должна быть задана функция во всем пространстве.


Электротехника