Физика примеры решения задач Теория электрических цепей Основы теории электромагнитного поля

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Основные понятия квантовой механики

Волновая функция и ее физическая интерпретация (плотность вероятности, нормировка волновой функции, неоднозначность волновой функции в виде фазового множителя ).

Принцип суперпозиции в квантовой механике (разложение в ряд Фурье, волновая функция в импульсном представлении).

Среднее значение координат и импульсов (оператор физической величины, принцип соответствия).

Свойства операторов физических величин (линейность, эрмитовость, некоммутативность), оператор отклонения физической величины от среднего значения.

Задача на собственные значения операторов (состояния, в которых физические величины строго определены, стандартные условия, спектр оператора, квантование физических величин).

Свойства собственных функций. Полная ортонормированная система функций.

 I. Волновая функция и ее физическая интерпретация

Согласно гипотезе де Бройля, любой частице можно поставить в соответствие волновой процесс с длиной волны . Зная длину волны, по формулам  и  можно определить волновое число и частоту, отвечающие движению частицы. Но достаточно ли знать частоту  и длину волны  для количественного описания волновых свойств микрочастиц? Напомню, что для описания электромагнитных волн используются, помимо  и , напряженность электрического поля  и магнитная индукция , которые зависят от  и . По аналогии с электродинамикой естественно предположить, что волна де Бройля описывается некоторой функцией, зависящей от координат и времени. Эту функцию будем обозначать через

  (1)

и называть волновой функцией или - функцией.

Квантовая механика исходит из предположения (это основной постулат квантовой механики), что состояние микрочастицы описывается функцией (1) координат и времени, которая интерпретируется вероятностным способом: величина

  

является плотностью вероятности нахождения частицы в данной точке пространства   в момент времени . Волновая функция содержит полную физическую информацию о поведении частицы. В квантовой механике она играет такую же роль, какую векторы  и  играют в электродинамике.

Вероятность того, что частица в момент  находится в области пространства объёмом , лежащей в окрестности точки , определяется формулой

.  (2)

Если эту величину проинтегрировать по объёму всего пространства, то получим вероятность события, состоящего в том, что частица в момент времени   находится где-нибудь в пространстве. Это достоверное событие: согласно теории вероятности, его вероятность равна 1. Значит,

,  (3)

где  - объем всего пространства. Равенство (3) называется условием нормировки волновой функции. Волновая функция, подчиняющаяся условию (3), называется нормированной.

 Отметим, что существуют такие состояния микрочастицы, для которых интеграл расходится и, следовательно, волновая функция не может быть нормирована условием (3). Примером могут служить состояния свободной квантовой частицы (см. лекцию 5). Один из способов действий в такой ситуации состоит в следующем. Поскольку движение реальной физической системы всегда происходит в ограниченной области пространства, то представляется естественным ограничиться рассмотрением движения частицы в некоторой области пространства, линейные размеры которой достаточно велики, но конечны. Очевидно, что в указанной области пространства волновая функция частицы может быть нормирована на единицу. Предельный переход к бесконечному пространству можно выполнить, в случае необходимости, в самом конце вычислений.

Волновая функция определяется с точностью до фазового множителя. Так как фазовый множитель выпадает из выражения для плотности вероятности , то функции  и  физически эквивалентны, если только. Эта неоднозначность не отражается на физических результатах, поскольку все физические величины выражаются через .


Электротехника