Физика примеры решения задач Теория электрических цепей Основы теории электромагнитного поля

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Квантовая гипотеза Планка

День рождения квантовых представлений – 14.12.1900. Предварительные результаты были доложены немного раньше – 19 октября 1900 г., когда была доложена работа, в которой выведена новая формула для излучения. Эта работа была опубликована в 1901 г.

 Напомню, что основной энергетической характеристикой равновесного теплового излучения является плотность энергии . Мы ограничимся излучением абсолютно чёрного тела, т.е. такого тела, которое полностью поглощает электромагнитное излучение, падающее на тело.

 Величина  содержит вклад электромагнитных волн всех частот, поэтому

,  (1)

где  - спектральная плотность энергии,  - доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот  в окрестности частоты - абсолютная температура, при которой излучение находится в состоянии равновесия с веществом.

 Если имеется тело в полости, ограниченной замкнутой оболочкой, стенки которой поддерживаются при , то внутри полости устанавливается равновесие между телом и электромагнитным излучением. Пусть оболочка имеет идеально отражающие стенки. Тело испускает электромагнитные волны, которые отражаются стенками оболочки, падают на тело и поглощаются им. В состоянии равновесия тело поглощает в единицу времени столько же энергии, сколько и отдаёт в виде электромагнитного излучения (теплового излучения).

В классической статистической физике доказывается теорема о равномерном распределении энергии молекул по степеням свободы в состоянии теплового равновесия: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная 

 (2)

(величина  приходится на энергию электрического поля и столько же - на энергию магнитного поля). Основываясь на этой теореме, легко вывести следующую формулу:

. (3)

Это формула Релея-Джинса. Она даёт хорошее согласие с опытом при малых частотах (при , см. рис.).

 

Рис. Зависимость спектральной плотности энергии  от частоты : пунктирная кривая отвечает формуле Релея-Джинса, а сплошная – описывает экспериментальные данные.

Однако подстановка (3) в (1) приводит к бесконечности: . Этот результат, называемый ультрафиолетовой катастрофой, означает, что классическая теория неспособна правильно описать тепловое излучение.

В поисках выхода из указанного затруднения Планк предположил, что электромагнитное излучение испускается и поглощается телом в виде отдельных порций с энергией :

 . (4)

Используя распределение Больцмана для энергии электромагнитных колебаний (энергия колебания составляет

,

где   - вероятность того, что энергия электромагнитного колебания равна , вычислим среднее значение энергии, приходящейся на одно колебание:

.

Расчет дает:

 . (5)

Отметим, что формула (5) совпадает с (2) лишь в классическом пределе, т.е. при . Умножая  на число электромагнитных колебаний в интервале  и объёме , , получаем формулу Планка:

 , (6)

где  Дж - квант действия (постоянная Планка). Оказалось, что формула Планка хорошо описывает экспериментальные данные. Эта формула не приводит и к ультрафиолетовой катастрофе.


Электротехника