Движение двух тел.
Задача 13.1.
Тело бросают с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Одновременно с высоты 50 м над поверхностью Земли бросают второе тело вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с. Определить время и место их встречи.
,
,
.
Решение.
Уравнения движения тел, с учетом начальных условий имеют вид (ось ОX направим вертикально вверх, начало оси – на поверхности Земли):
Для первого тела:
, для второго
.
В момент встречи
координаты тел становятся одинаковыми:
. Из этого уравнения найдем момент встречи
. Подставляя
в одно из уравнений движения, получим координату места встречи:
.
Ответ: 2 с; 20 м.
Задача 13.2.
Два тела бросили вертикально вверх с одинаковой скоростью 20 м/с через 1 с одно после другого. Определить где и когда они встретятся.
Дано:
=20 м/с, τ = 1 с;
;
Решение.
Здесь главное правильно составить кинематические уравнения движения.
Направим ось координат ОХ вверх, а начало оси координат расположим на поверхности Земли. Тогда, с учетом начальных условий, кинематические уравнения имеют вид: для первого тела:
, для второго тела:
.
В первом уравнении
– время, показываемое часами, которые запущены в момент броска первого тела. Во втором уравнении
– время, которое показывают часы, запущенные одновременно со вторым телом. Для решения задачи нужно выбрать какие-то одни часы, например, первые. Для этого запишем связь между показаниями первых и вторых часов. Второе тело брошено через время
после броска первого тела. Это значит, что в момент броска второго тела вторые часы показывали момент времени
, а первые часы в этот момент показали момент времени
. Очевидно, вторые часы всегда будут отставать от первых на
, так, что можно записать:
. Учитывая это, уравнения движения будет иметь вид:
и
при
. Теперь отсчет времени
ведется от момента броска первого тела.
Встреча двух тел означает, что их координаты становятся равными в один и тот же момент времени. Обозначим этот момент времени
, а координату тел в момент встречи
. Тогда:
,
.
Приравняв, имеем:
. Из последнего уравнения находим
. После чего найдем
.
Графики движения тел изображены на рис. 32.
Ответ: 2,5 с; 18,25 м.
Задача 13.3.
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V01 = 15 м/с. Через 1 с вертикально вверх бросают второе тело. Какую начальную скорость V02 нужно сообщить второму телу, чтобы оба тела упали на Землю одновременно.
Дано: V01 = 15 м/с, τ = 1 с; V02 - ?
Решение.
Кинематические уравнения движения тел имеют вид (см. рис 33):
и
.Начало отсчета времени совпадает с моментом броска первого тела. По условию задачи оба тела падают на Землю в один и тот же момент времени
. Координаты тел в этот момент равны нулю. Поэтому для момента падения кинематические уравнения движения будут иметь вид:
,
. Приравнивая правые части уравнений, получим:
. Причем тела упадут на Землю в момент
, то есть через 3 с после броска первого тела. На рисунке 34 показаны графики движения обоих тел.
Ответ: 10 м/с.