Движение двух тел.
Задача 13.1.
Тело бросают с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Одновременно с высоты 50 м над поверхностью Земли бросают второе тело вертикально вниз с начальной скоростью 5 м/с. Определить время и место их встречи.
, 
, 
. 
Решение.
Уравнения
движения тел, с учетом начальных условий имеют вид (ось ОX направим вертикально
вверх, начало оси – на поверхности Земли):
Для первого тела: 
, для второго 
.
В момент
встречи 
координаты тел становятся одинаковыми:
. Из этого уравнения найдем момент встречи
. Подставляя 
в одно из уравнений движения, получим
координату места встречи: 
.
Ответ: 2 с; 20 м.
Задача 13.2.
Два тела бросили вертикально вверх с одинаковой скоростью 20 м/с через 1 с одно после другого. Определить где и когда они встретятся.
Дано:
=20 м/с, τ = 1 с; 
; 
Решение.
Здесь главное правильно составить кинематические уравнения движения.
Направим
ось координат ОХ вверх, а начало оси координат расположим на поверхности Земли.
Тогда, с учетом начальных условий, кинематические уравнения имеют вид: для первого
тела:
, для второго тела:
.
В
первом уравнении 
– время, показываемое часами, которые
запущены в момент броска первого тела. Во втором уравнении 
– время,
которое показывают часы, запущенные одновременно со вторым телом. Для решения
задачи нужно выбрать какие-то одни часы, например, первые. Для этого запишем связь
между показаниями первых и вторых часов. Второе тело брошено через время 
после броска первого тела. Это значит, что в момент броска
второго тела вторые часы показывали момент времени 
, а первые
часы в этот момент показали момент времени 
. Очевидно, вторые часы всегда
будут отставать от первых на 
, так, что можно записать: 
. Учитывая
это, уравнения движения будет иметь вид: и 
при 
.
Теперь отсчет времени ведется от момента броска первого тела.
Встреча
двух тел означает, что их координаты становятся равными в один и тот же момент
времени. Обозначим этот момент времени 
, а координату тел в момент встречи
. Тогда: 
, 
.
Приравняв, имеем:
. Из последнего уравнения
находим 
. После чего найдем 
.
Графики движения тел изображены на рис. 32.
Ответ: 2,5 с; 18,25 м.
Задача 13.3.
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V01 = 15 м/с. Через 1 с вертикально вверх бросают второе тело. Какую начальную скорость V02 нужно сообщить второму телу, чтобы оба тела упали на Землю одновременно.
Дано: V01 = 15 м/с, τ = 1 с; V02 - ?
Решение.
Кинематические
уравнения движения тел имеют вид (см. рис 33):
и 
.Начало отсчета времени совпадает с
моментом броска первого тела. По условию задачи оба тела падают на Землю в один
и тот же момент времени 
. Координаты тел в этот момент равны
нулю. Поэтому для момента падения кинематические уравнения движения будут иметь
вид:
, 
. Приравнивая правые части
уравнений, получим:
. Причем тела упадут на Землю в момент 
, то есть
через 3 с после броска первого тела. На рисунке 34 показаны графики движения обоих
тел.
Ответ: 10 м/с.
