Физика полупроводников Теория электрических цепей Основы теории электромагнитного поля

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Фононы.

На примере задачи о гармоническом осцилляторе ранее было установлено, что колебательная энергия квантуется. Это приводит к тому, что средняя энергия колебания оказывается отличной от kТ. Энергия гармонического осциллятора может иметь значения

Энергия кристалла U может быть представлена как сумма энергий нормальных колебаний решетки:

(N — число элементарных ячеек в кристалле, r — число атомов в ячейке).

За вычетом энергии нулевых колебаний энергия нормального колебания частоты ωi слагается из порций вели­чины

(14.24)

Эта порция (квант) энергии называется фононом. Многие процессы в кристалле (например, рассеяние рентгеновых лучей или нейтронов) протекают так, как если бы фонон обладал импульсом

(14.25)

где k — волновой вектор соответствующего нормального колебания. Модуль импульса фонона равен

(14.26)

(ср. с импульсом фотона, равным ћω /с). Здесь k — волновое число, соответствующее колебанию частоты ω, υ — скорость упругих волн в кристалле.

Фонон во многих отношениях ведет себя так, как если бы он был частицей с энергией (14.24) и импульсом (14.25). Однако в отличие от обычных частиц (электронов, прото­нов, фотонов и т. п.) фонон не может возникнуть в вакууме — для своего возникновения и существования фонон нуждается в некоторой среде. Подобного рода частицы называются квазичастицами. Таким образом, фонон является квазичастицей.

Импульс фонона обладает своеобразными свойствами. При взаимодействии фононов друг с другом их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке и, следовательно, не сохраняется. В связи с этим величину (14.25) в случае фононов называют не импульсом, а квазиимпульсом.

Таким образом, колебания кристаллической решетки можно представить как фононный газ, заключенный в пределах образца кристалла. Формально фононное и фотонное представления весьма схожи — и фотоны, и фононы подчиняются одной и той же статистике. Однако между фотонами и фононами имеется существенное различие: в то время как фотоны являются истинными частицами, фононы являются квазичастицами.

Понятие о квантовой теории теплоемкости кристаллов

Для фотонного газа предполагались условия изотропности среды и линейности закона дисперсии (ω = сk). Для кристаллов в общем случае эти условия не выполняются. Из-за электрон-электронного, электрон-фононного и фонон-фононного взаимодействия закон дисперсии для кристаллов имеет сложный вид и зависит от направления в кристалле. В настоящее время с помощью компьютеров эта задача достаточно успешно решается, но рассмотрение методов решения столь громоздких задач выходит за рамки данного курса. Ниже для иллюстрации будут рассмотрены лишь упрощенные законы дисперсии, справедливые только в пределе длинных волн в кристалле (в модели Эйнштейна для оптических колебаний, в модели Дебая для акустических колебаний). Несмотря на свою простоту, в более совершенной модели Дебая (по сравнению с моделью Эйнштейна) было получено качественное согласие с экспериментом. В модели не учитывался вклад электронов в теплоемкость. Согласно классической физике вклад электронов в теплоемкость должен быть столь же существенен, как и вклад ионов в кристалле. Ответ на возникший парадокс был дан в рамках квантовой теории электронного спектра в кристаллах. Эта теория будет обсуждаться после рассмотрения теплоемкости.

Модель Эйнштейна

Эйнштейн отождествил кристаллическую решетку из N атомов с системой 3N независимых гармонических осцилляторов с одинаковой собственной частотой ω. Существование нулевой энергии колебаний было установлено значительно позже, лишь после создания квантовой механики. Поэтому Эйнштейн исходил из планковского значения энергии гармонического осциллятора εп = пћω. Соответственно в использованном Эйнштейном выражении для среднего значения энергии слагаемое ћω/2 отсутствовало.

Приняв, что распределение осцилляторов по состояниям с различной энергией

подчиняется закону Больцмана, можно найти среднее значение энергии гармонического осциллятора <ε>. Получается выражение, отличающееся от формулы Планка для средней энергии излучения лишь тем, что оно имеет дополнительное слагаемое ћω/2. Таким образом,

(14.27)

Умножив второе слагаемое выражения (14.27) на 3N, Эйнштейн получил для внутренней энергии кристалла формулу

(14.28)

Продифференцировав выражение (14.28) по температуре, Эйнштейн нашел теплоемкость кристалла:

(14.29)

Рассмотрим два предельных случая.

1. Высокие температуры (kТ >> ћω). В этом случае можно положить ехр(ћω /kТ) ≈ 1 + ћω /kТ в знаменателе и ехр(ћω /kТ) ≈ 1 — в числителе формулы (14.29). В результате для теплоемкости получается значение C = 3Nk.

Таким образом, мы пришли к закону Дюлонга и Пти.

2. Низкие температуры (kТ << ћω). При этом условии единицей в знаменателе выражения (14/29) можно пренебречь. Тогда формула для теплоемкости принимает вид

(14.30)

Экспоненциальный множитель изменяется значительно быстрее, чем Т 2. Поэтому при приближении к абсолютному нулю выражение (14.30) будет стремиться к нулю практически по экспоненциальному закону.

Опыт показывает, что теплоемкость кристаллов изменяется вблизи абсолютного нуля не экспоненциально, а по закону Т 3. Следовательно, теория Эйнштейна дает лишь качественно правильный ход теплоемкости при низких температурах. Количественного согласия с опытом удалось достигнуть Дебаю.


Физика атомного ядра и элементарных частиц