Физика полупроводников Теория электрических цепей Основы теории электромагнитного поля

Элементы квантовой механики и физики атомов, молекул, твердых тел

Фотонный газ

Предположим, что излучение, находящееся в равновесии со стенками полости, в которой оно заключено, можно представить как идеальный фотонный газ. Фотоны являются бозонами, т.к. спин фотона равен единице. Стенки полости непрерывно излучают и поглощают фотоны. Поэтому число фотонов не является наперед заданным (оно определяется объемом полости и температурой ее стенок). Из непостоянства числа фотонов вытекает, что их распределение по состояниям описывается формулой (14.16), где εi = ћωi:

,

(14.17)

 

Вычислим энергию излучения, отнесенную к единице объема полости и к единичному интервалу частот формулу, т. е. Планка. Энергия фотона не зависит от координат и направления его движения. В этом случае энергия частицы определяется только модулем ее импульса: ε = f(p). Поэтому изоэнергетическая поверхность (т. е. поверхность, все точки которой соответствуют одинаковой энергии) представляет собой сферу радиуса р. Отсюда следует, что объем ∆τ тонкого энергетического слоя равен объему шарового слоя радиуса р и толщины ∆р, умноженному на объем сосуда, в котором находится газ:

(14.18)

Найдем число состояний Zi фотонов в i-м тонком энергетическом слое объема ∆τi=V∙4πpi2∆pi. Объем ячейки в фазовом пространстве равен h3. Поэтому число ячеек равно ∆τi / h3. В каждой ячейке «помещается» два состояния фотона, различающихся направлением поляризации. Следовательно,

(14.19)

(учли, что h = 2πћ). Импульс фотона р = ε /с = ћω/c. Соответственно р2∆р = ћ3ω2∆ω/с3. Подстановка этого выражения в (14.19) дает для числа состояний в i- слое

(14.20)

Умножив Zi на среднее число заполнения <ni>, найдем число фотонов, частоты которых заключены в интервале ∆ωi, а умножив это число на энергию фотона εi = ћωi , получим энергию фотонов

Подстановка сюда выражений (14.17) и (14.20) приводит к формуле

(14.21)

Разделив ∆Еi на V и на ∆ωi, найдем плотность энергии электромагнитного излучения, отнесенную к единичному интервалу частот. Таким образом, опустив за ненадобностью индекс i, получим формулу

(14.21 а)

совпадающую с формулой Планка.

Фононный газ

Колебания кристаллической решетки можно представить как фононный газ, заключенный в пределах образца кристалла, подобно тому, как электромагнитное излучение можно представить как фотонный газ, заполняющий полость. Чтобы обсудить эту тему подробнее, нужно знать решение задачи о малых колебаниях системы с большим числом степеней свободы. Ниже будут рассмотрены результаты решения этой задачи, не касаясь способов ее решения.

Колебания систем с большим числом степеней свободы

Положение системы с s степенями свободы может быть задано с помощью s величин qi, которые называются обобщенными координатами системы. Роль обобщенных координат могут выполнять длины, углы, площади и т. д. Обобщенные координаты одной и той же системы можно выбирать различными способами. Можно показать, что такая система имеет s собственных частот иа (а — номер собственной частоты, пробегающий значения 1,2, ...,s). При произвольном выборе обобщенных координат qi общее решение уравнений движения имеет вид

Следовательно, каждая из функций qi представляет собой, вообще говоря, суперпозицию s гармонических колебаний с частотами ωα.

Энергия системы определяется выражением

где первая сумма дает кинетическую, а вторая — потенциальную энергию системы; аik и bl m — размерные коэффициенты. Таким образом, в выражение для энергии входят, вообще говоря, не только квадраты обобщенных координат qi или обобщенных скоростей , но и произведение координат или скоростей, соответствующих раз­личным степеням свободы системы. Оказывается, можно выбрать обобщенные координаты системы так, что изменение каждой из них будет представлять собой простое гармоническое колебание, совершающееся с одной из собственных частот ωα . Обозначив эти координаты посредством ζα, можно написать:

Обобщенные координаты ζα совершают независимо друг от друга гармоническое колебание, каждая со своей частотой ωα . Выбранные так обобщенные координаты называются нормальными (или главными), а совершаемые ими гармонические колебания — нормальными колебаниями системы.

Изменения во времени произвольно выбранных обобщенных координат qi могут быть представлены в виде суперпозиции нормальных колебаний ζα :

Выражение для энергии в нормальных координатах имеет вид

Следовательно, энергия системы равна сумме энергий, приходящихся на каждое из нормальных колебаний в отдельности.

В качестве иллюстрации смысла терминов рассмотрим примеры о колебаниях струны и о колебаниях в кристаллической решетки.

Колебания струны. В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны (рис. 14.2), причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз.

Рис. 14.2.

Отсюда вытекает условие

(14.22)

(l — длина струны). Длинам волн (14.22) соответствуют частоты

(14.23)

(υ — фазовая скорость волны, определяемая силой натяжения струны и массой единицы длины, т. е. линейной плотностью струны). Частоты vn называются собственными частотами струны. Собственные частоты являются кратными частоте

которая называется основной частотой. Гармонические колебания с частотами (14.23) называются собственными или нормальными колебаниями. Их называют также гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.

Колебания струны примечательны в том отношении, что для них по классическим представлениям получаются дискретные значения одной из характеризующих колебания величин (частоты). Для классической физики такая дискретность является исключением. Для квантовых процессов дискретность является скорее правилом, чем исключением.

Кристаллическая решетка. Колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещения других соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных друг с другом атомов, обладающую s = 3N степенями свободы.

Выше было показано, что произвольное колебание струны является суперпозицией гармонических стоячих волн. Следовательно, каждое нормальное колебание струны представляет собой стоячую волну. Аналогично каждому нормальному колебанию кристаллической решетки соответствует стоячая волна, устанавливающаяся в объеме кристаллического тела. Действительно, из-за связи между атомами колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая волна. Дойдя до границы кристалла, волна отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна. Стоячие волны могут возникать лишь для частот (или длин волн), удовлетворяющих определенным условиям. Если взять кристаллическое тело в виде параллелепипеда с ребрами а, b и с, то эти условия выражаются формулами (см. раздел"Колебания и волны")

Это значит, что на длине ребер должно размещаться целое число полуволн.


Физика атомного ядра и элементарных частиц