Курс теоретической механики

Две основные задачи динамики точки.

Первая: Дано движения точки. Требуется определить силу F, вызывающую это движение. Приведём решение задачи в декартовой системе координат. В декартовых осях должны быть заданы следующие параметры в функции от времени t:

. Необходимо найти силы F, под действием которых происходит движение удовлетворяющее этим уравнениям. Задача решается при помощи дифференциальных уравнений.

. Из системы уравнений (1) находим проекции силы. Математически задача сводится к двух кратному дифференцированию функции (*) .

 Направляющие косинусы по формулам: .

Вторая: основная задача динамики точки.

Задача ставится обратно: дана сила F, требуется найти закон движения под действием заданной силы R.

Эта задача решается на основании дифференциальных уравнений (2). Математически решение задачи сводится к решению уравнения (1).

.

Общее решение: .

В задачах, наряду с силами, задаются так называемые начальные условия, т.е. указывается начальное положение точки и начальная скорость.

.

Решение дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях (4) называется задача Каши. Как найти произвольные постоянные при помощи начальных условиях. Найдём производные от решения (3):

.

Далее подставим начальные условия (4) в уравнение (3) и (5), тогда имеем:

Решая последние уравнения, находим произвольные постоянные интегрирования:

.

Подставляя постоянные (7) в общее решение (3) получим частное решение дифференциальных уравнений (1). При заданных начальных условиях (4). Это частное решение описывает конкретное движение точки.

Аксиомы статики

В основе механики, а в частности статики, лежат аксиомы – законы природы, принятые без доказательства и установленные из опытов и наблюдений.

Аксиома I. Две силы, приложенные к твердому телу уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны по модулю и действуют по одной прямой в противоположных направлениях. (рис. 6.1.)

 


Подпись:

Рис. 7.1.

Аксиома II. Не нарушая состояние абсолютно твердого тела силы к нему можно прикладывать тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему.

Из этой аксиомы вытекает следствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия (см. рис 6.2.). На рисунке

Рис.7.2.

Другими словами, сила, приложенная к абсолютно твердому телу, представляет собой скользящий вектор.


Расчет балки на прочность