Курс теоретической механики

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Кинетической энергией точки, называется скалярная величина: .

Теорема в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии материальной точки равен работе равнодействующих сил, приложенных к точке:

Умножим обе части равенства на dr:

Учитывая, что m = const:

Теорема в интегральной форме: изменение кинетической энергии точки равно работе, совершённой равнодействующих сил приложенных к точке:.

Т – кинетическая энергия конечного положения точки.

Т0 – кинетическая энергия начального положения точки.

А – работа, совершённая точкой при перемещении из начального положения в конечное.

Доказательство: Пусть точка переместится из точки М0 в точку М1, по какой то траектории. Равенство (1) проинтегрируем на перемещении М0М:. В этом уравнение интеграл в правой части – это работа, совершённая силой F на перемещении М0М, а полный интеграл из дифференциала кинетической энергии равен изменению кинетической энергии, значит: .

Подставим полученное выражение для импульса системы в теорему об изменении импульса механической системы:

, .

где,  – ускорение центра масс.

Записанная формула выражает теорему о движении центра масс механической системы материальных точек: главный вектор внешних сил равнее произведению массы системы материальных точек на ускорение ее центра масс.

Импульс материального тела:

Умножим данное уравнение на массу тела:

,

величина  есть скорость центра масс.

  - радиус вектор центра масс материального тела.

;

Моменты инерции твёрдых тел.

Следует иметь ввиду, что момент инерции твёрдого тела есть характеристика самого тела вне зависимости от его вращения.

Величины  и R есть функции координат; интегрирование осуществляется по всему объёму. В общем случае неоднородного (≠ const) тела произвольной формы вычисление момента инерции является очень сложной задачей. В качестве примеров рассмотрим нахождение моментов инерции некоторых однородных (= const) тел правильной формы.

1) момент инерции тонкостенного цилиндра массы M и радиусом R относительно его оси симметрии:

, с учетом

Получаем

2) момент инерции сплошного однородного цилиндра радиусом R и высотой H относительно его оси симметрии. Разобьем цилиндр на бесконечно тонкие слои:

;

;


Расчет балки на прочность